17668. Дан выпуклый четырёхугольник ABC
. Точки K
, L
, M
и N
— центры описанных окружностей треугольников AOB
, BOC
, COD
и DOA
. Докажите, что существует единственная точка O
, для которой KLMN
— параллелограмм.
Решение. Докажем, что условию задачи удовлетворяет точка O
пересечения диагоналей данного четырёхугольника ABCD
. Действительно, прямые KL
и MN
— серединные перпендикуляры к отрезку BD
(см. задачу 1142), поэтому MN\parallel KL
. Аналогично, ML\parallel KN
. Следовательно, KLMN
— параллелограмм.
Осталось доказать единственность такой точки. Действительно, пусть точка O'
удовлетворяет условию задачи, т. е. KLMN
— параллелограмм с вершинами в центрах описанных окружностей треугольников AO'B
, BO'C
, CO'D
и DO'A
. Тогда BO'\perp CO'
, так как точка O'
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC
. Аналогично, DO'\perp AC
. Значит, точка O'
лежит на диагонали AC
данного четырёхугольника. Аналогично докажем, что точка O'
лежит на диагонали BD
. Значит, O'
совпадает с точкой O
пересечения диагоналей параллелограмма ABCD
. Что и требовалось доказать.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2004, задача 7, 11 класс