17674. Радиусы OA
и OB
окружности \Omega
перпендикулярны. Окружность \omega
касается \Omega
в точке Q
, а этих радиусов — в точках C
и D
соответственно. Найдите угол AQC
.
Ответ. 45^{\circ}
.
Решение. Заметим, что AQB
— угол правильного восьмиугольника, вписанного в окружность \Omega
, поэтому (см. задачу 1198)
\angle AQB=\frac{180^{\circ}\cdot(8-2)}{8}=135^{\circ}.
Пусть O'
— центр окружности \omega
. Тогда OCO'D
— квадрат, поэтому \angle CO'D=90^{\circ}
. Вписанный в окружность \omega
угол CQD
равен половине соответствующего центрального угла CO'D
, т. е. \angle CQ'D=45^{\circ}
, а так как четырёхугольники AQBO
и OCO'D
симметричны относительно прямой OQ
, то
\angle AQC=\angle BQD=\frac{1}{2}(\angle AQB-\angle CQD)=\frac{1}{2}(135^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2007, финальный этап, задача 3, 10 класс