17677. Точка P
— одна из двух общих точек окружностей \Gamma_{1}
и \Gamma_{2}
с центрами O_{1}
и O_{2}
соответственно. Окружность \Gamma_{2}
пересекает отрезок O_{1}O_{2}
в точке A
. Что существует окружность, касающаяся окружности \Gamma_{1}
в точке P
, а прямой O_{1}O_{2}
в точке A
, тогда и только тогда, когда \angle O_{1}PO_{2}=90^{\circ}
.
Решение. Необходимость. Предположим, существует окружность \Gamma
с центром O
, касающаяся окружности \Gamma_{1}
в точке P
, а прямой O_{1}O_{2}
— в точке A
. Тогда OP=OA
и O_{2}P=O_{2}A
как радиусы окружностей \Gamma
и \Gamma_{2}
. Треугольники OPO_{2}
и OAO_{2}
с общей стороной OO_{2}
равны по трём сторонам, поэтому
\angle OPO_{2}=\angle OAO_{2}=90^{\circ}.
Необходимость доказана.
Достаточность. Предположим теперь, что \angle OPO_{2}=90^{\circ}
. Тогда прямая O_{2}P
перпендикулярна радиусу O_{1}P
окружности \Gamma_{1}
, поэтому (см. задачу 1735) прямая O_{2}P
касается окружности \Gamma_{1}
в точке P
.
Поскольку O_{2}P=O_{2}A
, прямая, проходящая через точку P
перпендикулярно O_{2}P
, и прямая, проходящая через точку A
перпендикулярно O_{2}A
, пересекаются в точке O
, и при этом OP=OA
. Следовательно, окружность с центром O
и радиусом OP
касается окружности \Gamma_{1}
в точке P
и прямой O_{1}O_{2}
в точке A
.
Достаточность доказана.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2007, задача 5, 10 класс