17678. Окружности \Gamma_{1}
и \Gamma_{2}
с диаметрами AB
и CD
разной длины касаются внешним образом в точке K
. Прямая AC
касается этих окружностей в точках A
и C
. соответственно. Прямая BD
вторично пересекает окружности \Gamma_{1}
и \Gamma_{2}
в точках L
и M
соответственно. Докажите, что треугольники AKL
и BKM
подобны.
Решение. Рассмотрим случай, когда точки B
, L
, D
и M
расположены в указанном порядке (рис. 1).
Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры окружностей \Gamma_{1}
и \Gamma_{2}
соответственно. Тогда точка K
лежит на отрезке O_{1}O_{2}
(см. задачу 1758), а так как \angle AKB=90^{\circ}=\angle DKC
, то точка K
лежит на отрезке BC
. Значит,
\angle ALK=\angle LBK=\angle ABK=\angle KCD=\angle KMB.
Аналогично, \angle KAL=\angle KBM
. Следовательно, треугольники AKL
и BKM
подобны по двум углам.
Аналогично для случая, когда точки L
, B
, M
и D
лежат в указанном порядке (рис. 2).
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2007, задача 8, 11 класс