17680. Дан выпуклый четырёхугольник ABCD
, в котором AB=BC=CD
, а диагонали AC
и BD
пересекаются в точке O
. Докажите, что описанные окружности треугольников AOB
и COD
касаются тогда и только тогда, когда AC\perp BD
.
Решение. Необходимость. Пусть описанные окружности треугольников AOB
и COD
касаются. Проведём через точку O
их общую касательную. Тогда по теореме об угле между касательной и хордой (см. задачу 87)
\angle EOB=\angle OAB=\angle BCO~\mbox{и}~\angle EOC=\angle ODC=\angle CBO.
Сумма углов треугольника BOC
равна 180^{\circ}
, т. е.
\angle EOB+\angle EOC+\angle OBC\angle OCB=180^{\circ},~\mbox{или}~2\angle EOB+2\angle EOC=180^{\circ},
откуда
\angle BOC=\angle EOB+\angle EOD=90^{\circ}.
Необходимость доказана.
Достаточность. Путь AC\perp BD
. Треугольники AOB
и COD
прямоугольные, поэтому ИХ центры O_{1}
и O_{2}
— середины гипотенуз AB
и CD
соответственно. Тогда
\angle O_{1}OA=\angle O_{1}AO=\angle BCO~\mbox{и}~\angle O_{2}OD=\angle O_{2}DO=\angle CBO,
а так как \angle BOC=90^{\circ}
, то
\angle BCO+\angle CBO=90^{\circ}.
Значит,
\angle O_{1}OA+\angle AOD+\angle O_{2}OD=\angle BCO+90^{\circ}+\angle COB=180^{\circ}.
Таким образом, точка O
лежит на отрезке O_{1}O_{2}
, поэтому
O_{1}O_{2}=O_{1}O+OO_{2}.
Следовательно, описанные окружности треугольников AOB
и COD
касаются в точке O
. Достаточность доказана.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2007, задача 12, 12 класс