17683. Дан остроугольный треугольник ABC
. Через точки B
и C
проведены перпендикуляры x
и y
к прямым AB
и AC
соответственно. Докажите, что точка пересечения прямых y
и z
лежит на перпендикуляре к стороне BC
, проведённом через вершину A
, тогда и только тогда, когда AB=AC
.
Решение. Необходимость. Пусть перпендикуляр x
к прямой CB
пересекает сторону BC
в точке E
и проходит через точку D
пересечения перпендикуляров y
и z
. Тогда BE
и CE
— высоты прямоугольных треугольников соответственно ABD
и ACD
, проведённых из вершин прямых углов. Следовательно (см. задачу 2728),
AB=\sqrt{AE\cdot AD}=AC.
Необходимость доказана.
Достаточность. Пусть AB=BC
. Треугольник ABC
равнобедренный с основанием BC
, поэтому перпендикуляр x
, проведённый из вершины A
, является серединным перпендикуляром к отрезку BC
. Значит, боковые стороны AB
и AC
треугольника ABC
симметричны относительно прямой x
. Тогда перпендикуляры y
и z
тоже симметричны относительно прямой x
. Следовательно, точка D
их пересечения лежит на оси симметрии, т. е. на прямой x
. Достаточность доказана.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2008, задача 7, до 10 класс