17689. На сторонах AB
, BC
и CA
треугольника ABC
отмечены точки A'
, B'
и C'
соответственно, причём \frac{A'B}{AB}=\frac{B'C}{BC}=\frac{C'A}{CA}=k
. Найдите все положительные числа k
, для которых площадь треугольника A'B'C'
равна половине площади треугольника ABC
Ответ. k=\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{3}}{6}
.
Решение. Заметим, что
S_{\triangle BB'A}=S_{\triangle CC'B}=S_{\triangle AA'C}=\frac{AA'}{AB}S_{\triangle ABC}=(1-k)kS_{\triangle ABC}
(см. задачу 3007). Тогда из условия задачи получаем
3(1-k)kS_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC},~\mbox{или}~3(1-k)k=\frac{1}{2}~\Leftrightarrow~k^{2}-k+\frac{1}{6}=0.
Оба корня k=\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{3}}{6}
этого уравнения положительны.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2009, задача 4, 10 класс