17697. Дан прямоугольник ABCD
со сторонами AB=a
и BC=b
, где a\geqslant b
. Точка E
лежит внутри стороны AB
, причём известно, что точки F
, G
и H
на сторонах соответственно BC
, CD
и DA
можно выбрать единственным способом, чтобы четырёхугольник EFGH
тоже был прямоугольником. Найдите отношение площадей прямоугольников EFGH
и ABCD
.
Ответ. \frac{1}{2}
.
Решение. Заметим, что у прямоугольников EFGH
и ABCD
общий центр (см. задачу 1057). Обозначим его через O
. Тогда вершины прямоугольника EFGH
лежат на окружности с центром O
и радиусом OE
. Эта окружность пересекает сторону BC
в двух точках, симметричных относительно середины стороны BC
. По условию прямоугольник EFGH
единственный, значит, эта окружность должна иметь ровно одну общую точку со стороной AD
, т. е. касаться этой стороны в точке F
. Тогда F
— середина BC
. Аналогично, H
— середина AD
. Значит, FH=AB=a
, а расстояния от точек E
и G
до прямой FH
равно \frac{1}{2}BC=\frac{b}{2}
. Тогда
S_{EFGH}=2\cdot\frac{1}{2}FH\cdot BF=FH\cdot BF=a\cdot\frac{b}{2}=\frac{ab}{2}=S_{ABCD}.
Следовательно, \frac{S_{EFGH}}{S_{ABCD}}=\frac{1}{2}
.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2010, задача 14, 12 класс