17710. На гипотенузе AB
прямоугольного треугольника ABC
отмечена точка D
, отличная от B
, причём CD=CB
. Точка O
— центр описанной окружности треугольника ACD
. Лучи OD
и CB
пересекаются в точке P
, а прямая, проведённая через точку O
перпендикулярно гипотенузе AB
, и луч CD
пересекаются в точке Q
. Точки A
, C
, P
и Q
лежат на одной окружности. Верно ли, что APQ
— квадрат?
Ответ. Верно.
Решение. Поскольку OD=OA
как радиусы одной окружности, точка O
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AD
, поэтому AQ=DQ
, т. е. треугольник ADQ
равнобедренный. Тогда
\angle QAD=\angle ADQ=\angle BDC=\angle CBD.
Значит, AQ\parallel BC
, поэтому
\angle QAC=180^{\circ}-\angle ACB=90^{\circ},
а так как четырёхугольник ACPQ
вписанный, то
\angle CPQ=180^{\circ}-\angle QAC=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ},
поэтому ACPQ
— прямоугольник.
Поскольку \angle DOC=2\angle BAC
(центральный угол вдвое больше соответствующего вписанного угла), а треугольник CBD
равнобедренный, получаем
\angle DOC=2\angle BAC=2(90^{\circ}-\angle CBA)=180^{\circ}-2\angle CBA=180^{\circ}-\angle CBD-\angle BDC=\angle DCB,
поэтому равнобедренные треугольники BDC
и DCO
подобны. Тогда \angle BDC=\angle DCO
, поэтому OC\parallel AB
. Значит,
\angle QOC=90^{\circ}=\angle QAC.
Тогда (см. задачу 12) точка O
лежит на описанной окружности четырёхугольника ACPQ
, поэтому
\angle ACQ=\angle AOQ=\frac{1}{2}\angle AOD=\frac{1}{2}\angle AOP=\frac{1}{2}\angle ACP=45^{\circ}.
Значит, диагональ CQ
прямоугольника ACPQ
— биссектриса его угла ACP
. Следовательно, ACPQ
— квадрат.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2012, отбор на Международную олимпиаду, второй день, задача 4