17714. На сторонах AB
и BC
ромба ABCD
выбрали точки E
и F
. Оказалось, что треугольник DEF
равносторонний, причём существует ещё один равносторонний треугольник с вершиной D
и с остальными вершинами на сторонах AB
и CD
. Найдите углы ромба ABCD
.
Ответ. 60^{\circ}
и 120^{\circ}
.
Решение. Пусть треугольники DE_{1}F_{1}
и DE_{2}F_{2}
удовлетворяют условию задачи, т. е. E_{1}
и E_{2}
лежат на стороне AB
ромба ABCD
, точки F_{1}
и F_{2}
— на стороне BC
, и при этом DE_{1}=DF_{1}
, DF_{1}=DF_{2}
и \angle E_{1}DF_{1}=60^{\circ}=\angle E_{2}DF_{2}
.
При повороте вокруг точки D
на 60^{\circ}
точка E_{1}
переходит в F_{1}
, точка E_{2}
— в точку F_{2}
, а тогда прямая E_{1}F_{1}
переходит в прямую E_{2}F_{2}
. Следовательно, \angle ABC=120^{\circ}
и \angle DAB=60^{\circ}
.
Примечание. Заметим, что для ромба ABCD
с острым углом 60^{\circ}
при вершине A
существует бесконечно много равносторонних треугольников с общей вершиной D
и с остальными вершинами на сторонах AB
и BC
(см. задачу 1386).
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2013, задача 13, 11 класс