17716. В остроугольном треугольнике ABC
проведены высоты AD
и BE
, M
— середина стороны AB
. Прямая CM
второй раз пересекает описанную окружность треугольника CED
в точке P
, а описанную окружность треугольника ABC
— в точке Q
. Докажите, что MP=MQ
.
Решение. Пусть H
— ортоцентр треугольника ABC
. Из точек D
и E
отрезок CH
виден под прямым углом, поэтому эти точки лежат на окружности с диаметром CH
. Обозначим \angle BAC=\alpha
. Тогда
\angle CHE=\angle CAB=\alpha~\Rightarrow~\angle MPE=180^{\circ}-\angle CPE=180^{\circ}-\angle CHE=180^{\circ}-\alpha,
поэтому четырёхугольник AMPE
вписанный.
Медиана EM
прямоугольного треугольника AEB
равна половине гипотенузы AB
(см. задачу 1109), поэтому
ME=MA~\mbox{и}~\angle MEA=\angle AME=\alpha,
а так как четырёхугольник AMPE
вписанный, то
\angle MPA=\angle MEA=\alpha.
Поскольку
\angle PQB=\angle MQB=\angle CQB=\angle CAB=\alpha=\angle MEA=\angle APQ,
то AP\parallel BQ
. Аналогично, BP\parallel AQ
. Значит, APBQ
— параллелограмм. Его диагонали AB
и PQ
точкой пересечения M
делятся пополам. Следовательно, MP=MQ
. Что и требовалось доказать.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2013, второй день, задача 4