17717. Меньшие дуги AB
и CD
описанной окружности остроугольного треугольника ABC
симметрично отобразили относительно прямых AB
и AC
соответственно. Докажите, что полученные дуги вторично пересекаются в точке, отличной от A
.
Решение. Обозначим \angle BAC=\alpha
, \angle ABC=\beta
и \angle ACB=\gamma
. Пусть s
— касательная к описанной окружности треугольника ABC
в точке A
, X
и Y
— основания перпендикуляров, опущенных на прямую s
из точек B
и C
соответственно, а точки X'
и Y'
— точки симметричные точкам X
и X
относительно прямых AB
и AC
соответственно. Тогда прямые AX'
и BY'
касаются отражённых дуг AB
и AC
соответственно.
Тогда отражённые дуги точки вторично пересекаются в точке, отличной от A
, тогда и только тогда, когда
\angle BAC\lt\angle BAX'+CAY'.\eqno(1)
Из теоремы об угле между касательной и хордой (см. задачу 87) следует, что
\angle BAX'=\angle BAX=\gamma~\mbox{и}~\angle CAY'=\angle CAY=\beta,
поэтому неравенство (1) равносильно неравенству
\alpha\lt\beta+\gamma,
а так как треугольник ABC
остроугольный, то
\alpha\lt90^{\circ}\lt180^{\circ}-\alpha=\alpha+\beta.
Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2014, задача 3, до 10 класса