17719. Площадь S
и радиус R
описанной окружности треугольника удовлетворяют неравенству S\geqslant R^{2}
. Докажите, что все углы этого треугольника больше 30^{\circ}
и на один из них не больше 90^{\circ}
.
Решение. Пусть углы треугольника равны \alpha
, \beta
и \gamma
. Тогда
S=2R^{2}\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma
(см. задачу 4020), а так как по условию S\geqslant R^{2}
, то
\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma\geqslant\frac{1}{2}.
Поскольку синус угла не превосходит 1, каждый из сомножителей в левой части этого неравенства больше \frac{1}{2}
(если, например, \sin\alpha\leqslant\frac{1}{2}
, то \sin\beta\sin\gamma\geqslant1
, поэтому \sin\beta=\sin\gamma=1
, т. е. \beta=\gamma=90^{\circ}
, что невозможно). Следовательно, все углы данного треугольника больше 30^{\circ}
.
Пусть один из углов (например, \gamma
) данного треугольника тупой или прямой. Тогда
\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma\geqslant\frac{1}{2}~\Rightarrow~\sin\alpha\sin\beta\gt\frac{1}{2},
а так как \alpha+\beta\lt90^{\circ}
, то
\sin\alpha\sin\beta\lt\sin\alpha\sin(90^{\circ}-\alpha)=\sin\alpha\cos\alpha=\frac{1}{2}\sin2\alpha\leqslant\frac{1}{2}.
Противоречие. Следовательно, все углы данного треугольника острые.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2014, задача 13, 11 класс