17722. Дан прямоугольный треугольник ABC
с прямым углом при вершине A
. Окружность \omega
проходит через вершины A
и B
и пересекает стороны AC
и BC
в точках D
и E
соответственно. Отрезок CD
равен диаметру окружности \omega
. Докажите, что треугольник ABE
равнобедренный.
Решение. Поскольку \angle BAD=90^{\circ}
, отрезок BD
— диаметр окружности \omega
, а так как по условию CD=BD
, то треугольник BDC
равнобедренный. Его высота D
является медианой, поэтому AE
— медиана прямоугольного треугольника ABC
, проведённая из вершины прямого угла. Значит (см. задачу 1109),
AE=\frac{1}{2}BC=BE.
Следовательно, треугольник ABE
равнобедренный. Что и требовалось доказать.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2015, задача 3, до 10 класса