17727. На сторонах AB
, BC
и CA
треугольника ABC
отметили точки L
, M
и N
соответственно. Оказалось, что прямые CL
, AM
и BN
пересекаются в точке O
, лежащей внутри треугольника ABC
, а четырёхугольники ALON
, BMOL
и CNOM
можно вписать окружности. Докажите, что
\frac{1}{AL\cdot BM}+\frac{1}{BM\cdot BN}+\frac{1}{CN\cdot AL}=\frac{1}{AN\cdot BL}+\frac{1}{BL\cdot CM}+\frac{1}{CM\cdot AN}.
Решение. Четырёхугольник ALON
описанный, поэтому суммы его противоположных сторон равны, т. е.
AL+ON=AN+OL.
Аналогично,
BM+OL=BL+OM,~\mbox{и}~CN+OM=CM+ON.
Сложив эти три равенства, получим
AL+BM+CN=AN+BL+CM.\eqno(1)
Поскольку прямые CL
, AM
и BN
пересекаются в одной точке, то по теореме Чевы (см. задачу 1621)
\frac{AL}{LB}\cdot\frac{BM}{MC}\cdot\frac{CN}{NA}=1~\Rightarrow
\Rightarrow AL\cdot BM\cdot CN=AN\cdot BL\cdot CM.\eqno(2)
Разделив равенство (1) на равенство (2), получим
\frac{1}{AL\cdot BM}+\frac{1}{BM\cdot BN}+\frac{1}{CN\cdot AL}=\frac{1}{AN\cdot BL}+\frac{1}{BL\cdot CM}+\frac{1}{CM\cdot AN}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2015, задача 7