17730. Биссектриса внешнего угла при вершине C
треугольника ABC
пересекает биссектрису внутреннего угла при вершине B
в точке K
. Через точку K
проведён диаметр описанной окружности треугольника BCK
. Докажите, что на нём лежит вершина A
.
Решение. Пусть KL
— диаметр описанной окружности треугольника BCK
. Тогда \angle KBL=90^{\circ}
, а так как биссектрисы смежных углов перпендикулярны, то BL
— биссектриса внешнего угла треугольника ABC
при вершине B
. Аналогично, CL
— биссектриса внутреннего угла при вершине C
треугольника ABC
. Биссектрисы двух внешних углов треугольника и третьего внутреннего пересекаются в одной точке (см. задачу 1192), поэтому KL
— биссектриса внешнего угла при вершине K
треугольника ABC
. Следовательно, точка A
лежит на прямой KL
. Что и требовалось доказать.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2016, задача 17, 10-12 классы