17740. Точка M
лежит на диагонали BD
параллелограмма ABCD
, причём MD=3M
. Прямые AM
и BC
пересекаются в точке N
. Найдите отношение площади треугольника MND
к площади параллелограмма ABCD
.
Ответ. \frac{1}{8}
.
Решение. Поскольку ABNM
— трапеция, получаем (см. задачу 3017), что треугольник MND
равновелик треугольнику AMB
. Следовательно,
\frac{S_{\triangle MND}}{S_{ABCD}}=\frac{S_{\triangle AMB}}{S_{ABCD}}=\frac{\frac{1}{4}S_{\triangle ABD}}{S_{ABCD}}=\frac{\frac{1}{4}S_{\triangle ABD}}{S_{ABCD}}=\frac{\frac{BM}{BD}\cdot\frac{1}{2}S_{ABCD}}{S_{ABCD}}=\frac{\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}S_{ABCD}}{S_{ABCD}}=\frac{1}{8}.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2018, задача 5, до 10 класса