17742. Все стороны прямоугольного треугольника равны целым числам. Докажите, что радиус вписанной окружности тоже целое число.
Решение. Пусть r
— радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника с катетами a
, b
и гипотенузой c
, причём a
, b
и c
— целые числа. Тогда (см. задачу 217),
r=\frac{a+b-c}{2}.
По теореме Пифагора a^{2}+b^{2}=c^{2}
.
Заметим, что если числа a
и b
чётные, то c
тоже чётное, поэтому a+b-c
— чётное число. Следовательно, r
— целое.
Если a
и b
нечётные, то a+b
чётное и c^{2}=a^{2}+b^{2}
чётное, поэтому c
— чётное, поэтому r=\frac{a+b-c}{2}
— целое.
Если числа a
и b
разной чётности, то a+b
нечётное и c
нечётное, поэтому r=\frac{a+b-c}{2}
— целое.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2018, задача 8, 10 класс