17743. Окружность с центром A
проходит через вершины B
и E
правильного пятиугольника ABCDE
. Прямая BC
второй раз пересекает эту окружность в точке F
. Докажите, что DE\perp EF
.
Решение. Все углы правильного пятиугольника равны \frac{180^{\circ}(5-2)}{5}=108^{\circ}
(см. задачу 1198). Вписанный угол BFC
вдвое меньше соответствующего ему центрального угла BAE
, поэтому
\angle CFE=\angle BFE=\frac{1}{2}\angle BAE=\frac{1}{2}\cdot108^{\circ}=54^{\circ}.
Сумма углов четырёхугольника CDEF
равна 360^{\circ}
, следовательно,
\angle DEF=360^{\circ}-54^{\circ}-2\cdot180^{\circ}=90^{\circ}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2019, задача 5, до 10 класса