17749. Дан равнобедренный треугольник ABC
(AB=AC
). Точка K
лежит на его высоте, проведённой из вершины A
, точка L
на прямой BK
, причём AL\parallel BC
. Докажите, что если KC\perp CL
, то точка L
лежит на биссектрисе внешнего угла при вершине C
треугольника ABC
.
Решение. Поскольку AL\parallel BC
и AK\perp BC
, то \angle KAL=90^{\circ}
. Из точек A
и C
отрезок KL
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром KL
. Вписанные в эту окружность углы KCA
и KLA
опираются на одну и ту же дугу, а точки C
и B
симметричны относительно прямой AK
, поэтому
\angle ACK=\angle ALK=\angle ALB=\angle KBC=\angle KCB.
Значит, CK
— биссектриса внутреннего угла при вершине C
треугольника ABC
, а так как CL\perp CK
, то CL
— биссектриса внешнего угла треугольника ABC
при вершине C
(см. задачу 937). Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2020, задача 9, до 10 класса