17750. Вписанная окружность треугольника ABC
касается его сторон AB
и AC
в точках K
и L
соответственно. Прямая BL
вторично пересекает вписанную окружность треугольника ABC
в точке M
. Окружность, проходящая через точку M
, касается прямых AB
и BC
в точках P
и Q
соответственно и пересекает вписанную окружность треугольника ABC
в точке N
, отличной от M
. Докажите, что если KM\parallel AC
, то точки P
, N
и L
лежат на одной прямой.
Решение. Пусть \Omega
— вписанная окружность треугольника ABC
, а \omega
— вторая окружность из условия задачи. Заметим, что окружность \Omega
гомотетична окружности \omega
с центром B
и коэффициентом \frac{BK}{BP}
.
Пусть X
— отличная от M
точка пересечения прямой BL
с окружностью \omega
. Рассматриваемая гомотетия переводит точку P
в K
, точку M
— в L
, а точку X
— в M
. По свойству гомотетии (см. задачу 5707) и теореме об угле между касательной и хордой
\angle PXM=\angle KML~\Rightarrow~\angle KML=\angle KLA=\angle LKM.
Значит,
\angle PNM+\angle LNM=(180^{\circ}-\angle PXM)+\angle LKM=(180^{\circ}-\angle KML)+\angle KML=180^{\circ}.
Следовательно, точки P
, N
и L
лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.
Примечание. Верно и обратное: если точки P
, N
и L
лежат на одной прямой, то KM\parallel AC
.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2020, задача 14, 10-12 классы