17751. Прямые, касающиеся описанной окружности треугольника ABC
в точках B
и C
, пересекаются в точке D
. Описанная окружность треугольника BCD
вторично пересекает прямые AB
и AC
в точках K
и L
соответственно. Докажите, что прямая AD
делит пополам отрезок KL
.
Решение. Первый способ. Пусть точка K
лежит между A
и B
(рис. 1). По теореме об угле между касательной и хордой \angle BAC=\angle BCD
, а по теореме о вписанных углах, опирающихся на одну ту же дугу, \angle BCD=\angle BKD
. Следовательно,
\angle BAL=\angle BAC=\angle BKD,
поэтому KD\parallel AL
.
Если точка B
лежит между A
и K
(рис. 2), то
\angle BAC=\angle BCD~\mbox{и}~\angle BCD=180^{\circ}-\angle BKD,
Следовательно,
\angle BAL+\angle BKD=\angle BAC+\angle BKD=180^{\circ},
поэтому KD\parallel AL
.
Если точка A
лежит между K
и B
(рис. 3), то
\angle BAC=180^{\circ}-\angle BCD~\mbox{и}~\angle BCD=\angle BKD,
Следовательно,
\angle BAL=180^{\circ}-\angle BAC=\angle BKD,
поэтому снова KD\parallel AL
.
Аналогично докажем, что LD\parallel AK
. Значит, AKDL
— параллелограмм. Следовательно, его диагональ AD
проходит через середину диагонали BC
. Отсюда следует утверждение задачи.
Второй способ. Заметим, что AD
— симедиана треугольника ABC
(см. задачу 10449), поэтому отрезки KL
и BC
антипараллельны. Значит, прямая AD
делит пополам любой отрезок с концами на сторонах угла BAC
(см. задачу 10341), в частности, отрезок KL
. Следовательно, прямая QD
проходит через середину отрезка KL
. Что и требовалось доказать.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2020, задача 20, 10-12 классы