17754. Площадь квадрата KLMN
равна 1. Точки X
, Y
и Z
лежат на сторонах KL
, KN
и NM
соответственно, причём KX:XL=3:2
, KY:YN=4:1
и NZ:ZM=2:3
. Найдите площадь треугольника XYZ
.
Ответ. \frac{11}{50}
.
Решение. Пусть O
— центр квадрата. Поскольку KX:XL=MZ:ZN=3:2
, трапеции KNZX
и MLXZ
равновелики. Площадь каждой из них равна \frac{1}{2}
. Значит (см. задачу 3007),
S_{\triangle XYZ}=\frac{1}{2}-(S_{\triangle KXY}+S_{\triangle NYZ})=\frac{1}{2}-\left(\frac{KX}{KL}\cdot\frac{KY}{KN}S_{\triangle KLN}+\frac{NZ}{NM}\cdot\frac{NY}{NK}S_{\triangle KMN}\right)=
=\frac{1}{2}-\left(\frac{3}{5}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{1}{2}+\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}\left(1-\frac{3}{5}\cdot\frac{4}{5}-\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{5}\right)=
=\frac{1}{2}\left(1-\frac{12}{25}-\frac{2}{25}\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{11}{25}=\frac{11}{50}.
Источник: Новозеландские математические олимпиады. — 2016, задача 3, старшие классы