17761. Дан прямоугольный треугольник ABC
с прямым углом пр вершине C
. Точка P
симметрична точке C
относительно прямой AB
. Известно, что середины сторон AB
, AC
и точка P
лежат на одной прямой. Найдите углы треугольника ABC
.
Ответ. 30^{\circ}
, 60^{\circ}
, 90^{\circ}
.
Решение. Пусть M
и N
— середины катета AC
и гипотенузы AB
соответственно, а CH
— высота треугольника ABC
. Тогда по свойству медианы прямоугольного треугольника, проведённой из вершины прямого угла
CN=\frac{1}{2}AB=BN
(см. задачу 1109).
Прямые BC
и PN
параллельны, так как они перпендикулярны одной и той же прямой AC
, поэтому \angle NHP=\angle BHC
. Из симметрии CH=PH
, поэтому прямоугольные NHP
и BHC
равны по катету и прилежащему углу. Значит, BC=NP=CN
. Таким образом BC=CN=BN
. Следовательно, треугольник BCN
равносторонний. Тогда
\angle ABC=\angle NBC=60^{\circ}~\mbox{и}~\angle BAC=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}.
Источник: Новозеландские математические олимпиады. — 2021, задача 7, младшие классы