17768. На стороне BC
треугольника ABC
отмечены точки M
и N
, причём BM=MN=NC
. Прямая, параллельная стороне AC
, пересекает отрезки AB
, AM
и AN
в точках D
, E
и F
соответственно. Докажите, что EF=3DE
.
Решение. Через вершину B
проведём прямую, параллельную AC
. Пусть лучи AM
и AN
пересекают её в точках X
и Y
соответственно. Обозначим AC=b
.
Треугольник BMX
подобен треугольнику CMA
с коэффициентом \frac{BM}{MC}=\frac{1}{2}
, поэтому BX=\frac{1}{2}b
. Треугольник BNY
подобен треугольнику CNA
с коэффициентом \frac{BN}{NC}=2
, поэтому BY=2b
. Следовательно, по теореме о пропорциональных отрезках на параллельных прямых (см. задачу 1597)
\frac{EF}{DE}=\frac{XY}{BX}=\frac{2b-\frac{b}{2}}{\frac{b}{2}}=3~\Rightarrow~EF=3DE.
Что и требовалось доказать.
Источник: Сингапурские математические олимпиады. — 1998-1999, отбор на Международную олимпиаду, задача 2.1