17772. Дан остроугольный треугольник ABC
. Точка D
— основание перпендикуляра, опущенного из вершины A
на сторону BC
. Точка E
— основание перпендикуляра, опущенного из точки D
на сторону AC
. Точка F
лежит на отрезке DE
. Докажите, что AF\perp BE
тогда и только тогда, когда \frac{FE}{ED}=\frac{BD}{DC}
.
Решение. Пусть прямая, проведённая через точку D
параллельно BE
, пересекает сторону AC
в точке G
. Тогда \angle EBD=\angle GDC
. По теореме о пропорциональных отрезках (см. задачу 1059)
\frac{EG}{GC}=\frac{BD}{DC}.
Заметим, что прямоугольные треугольники ADE
и DCE
подобны. Тогда
\frac{FE}{ED}=\frac{BD}{DC}~\Leftrightarrow~\frac{EG}{GC}=\frac{FE}{FD}.
Второе равенство равносильно подобию треугольников ADF
и DGC
, а это подобие равносильно равенству \angle DAF=\angle GDC
, которое равносильно равенству \angle DAF=\angle EBD
. Поскольку AD\perp BD
, последнее равенство равносильно перпендикулярности сторон AF
и BE
углов DAF
и EBD
соответственно. Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Сингапурские математические олимпиады. — 2000-2001, отбор на Международную олимпиаду, задача 2.1