17776. В остроугольном треугольнике ABC
точка H
— ортоцентр, M
— середина стороны AC
, C_{1}
— основание высоты, проведённой из вершины C
, H_{1}
— точка, симметричная точке H
относительно прямой AB
, а точки P
, Q
и R
— проекции точки C_{1}
на прямые AH_{1}
, AC
и BC
соответственно. Докажите, что точка, симметричная точке M
относительно центра M_{1}
описанной окружности треугольника PQR
, лежит на прямой BH_{1}
.
Решение. Воспользуемся следующими утверждениями.
1. Точка, симметричная ортоцентру треугольника относительно прямой, содержащей его сторону, лежит на описанной окружности треугольника (см. задачу 4785).
2. Если диагонали вписанного четырёхугольника перпендикулярны, то середины его сторон и основания перпендикуляров, опущенных из точки пересечения его диагоналей на стороны, лежат на одной окружности.
Итак, точка H_{1}
лежит на описанной окружности данного треугольника ABC
, поэтому AH_{1}BC
— вписанный четырёхугольник с перпендикулярными диагоналями. Тогда описанная окружность \omega
треугольника PQR
проходит через середину N
стороны BH_{1}
этого четырёхугольника. В то же время, поскольку PMRN
— прямоугольник, центр окружности \omega
— середина M_{1}
диагонали MN
. Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Балканская математическая олимпиада. — 2010, задача 2