17779. Точки A
, B
и C
лежат на окружности \Gamma
с центром O
, причём \angle ABC\gt90^{\circ}
. Прямая AB
и прямая, проходящая через точку C
перпендикулярно AC
, пересекаются в точке D
. Прямая l
, проходящая через точку D
перпендикулярно прямой AO
, пересекает окружности \Gamma
в точке F
, лежащей между D
и E
. Докажите, что описанные окружности треугольников BFE
и CFD
касаются в точке F
.
Решение. Пусть G
— точка, диаметрально противоположная вершине A
. Поскольку точка C
лежит на окружности с диаметром AG
, прямая AC
перпендикулярна DG
. Значит, точки D
, C
и G
лежат на одной прямой, а E
— ортоцентр треугольника ADC
.
Вписанные в окружность \Gamma
углы CAG
и CFG
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle CFG=\angle CAG=\angle CDF.
Следовательно (см. задачу 144), прямая FG
— касательная к описанной окружности треугольника CFD
.
Точка F
лежит на окружности с диаметром AC
, поэтому \angle AFG=90^{\circ}
. Значит,
\angle EBF=\angle GBF=\angle GAF=90^{\circ}-\angle AGF=\angle EFG.
Тогда прямая FG
— касательная к описанной окружности треугольника BFE
. Следовательно, прямая GF
— общая касательная к описанным окружностям треугольников BFE
и CFD
, проходящая через их общую точку F
.
Источник: Балканская математическая олимпиада. — 2012, задача 1