17783. Точка
I
— центр вписанной окружности треугольника
ABC
. Окружность с центром
I
пересекает сторону
BC
в точках
D
и
P
(точка
D
лежит между
B
и
P
), сторону
CA
— в точках
E
и
Q
(точка
E
лежит между
C
и
Q
), сторону
AB
— в точках
F
и
R
(точка
F
лежит между
A
и
R
). Прямые
EF
и
QR
пересекаются в точке
S
, прямые
FD
и
RP
— в точке
T
, прямые
DE
и
PQ
— в точке
U
. Докажите, что описанные окружности треугольников
DUP
,
ESQ
и
FTR
имеют единственную общую точку.
Решение. Пусть
G
и
H
середины хорд
DP
и
EQ
окружности
\omega
из условия задачи. Тогда
IG=IH
как радиусы окружности
\Omega
, вписанной в треугольник
ABC
. Значит,
DP=EQ
как как хорды окружности
\Omega
, равноудалённые от центра окружности.
Луч
CI
— биссектриса угла
C
треугольника
ABC
, значит, при симметрии относительной прямой
CI
точка
G
переходит в
H
, точка
D
— в точку
Q
, а точка
P
— в точку
E
. Тогда отрезки
DE
и
PQ
, симметричные относительно прямой
CI
, пересекаются на оси симметрии, т. е. на прямой
CI
, а точка
U
их пересечения лежит на прямой
CI
.
Заметим, что точка
I
— центр описанной окружности
DPE
, угол
PIU
симметричен углу
UIE
из симметрии
\angle PIU=\frac{1}{2}\angle PIE=\angle PDE=\angle PDU.

Тогда четырёхугольник
DPUI
вписанный (см. задачу 12), поэтому точка
I
лежит на описанной окружности треугольника
DUP
. Аналогично, точка
I
лежит на описанных окружностях треугольников
ESQ
и
FTR
. Следовательно, описанные окружности треугольников
DUP
,
ESQ
и
FTR
пересекаются в точке
I
.
Докажем, что других общих точек у этих трёх окружностей нет. Аналогично аналогично изложенному выше
\angle DPT=\angle DIT
, поэтому четырёхугольник
DPIT
вписанный. Тогда точка
T
лежит на окружности, проходящей через точки
D
,
P
и
I
, а значит, лежит на описанной окружности треугольника
DUP
. Аналогично для описанных окружностей треугольников. Таким образом, описанные окружности треугольников
DUP
и
FTR
пересекаются в точках
T
и
I
, описанные окружности треугольников
FTR
и
ESQ
— в точках
S
и
I
, описанные окружности треугольников
ESQ
и
DUP
— в точках
U
и
I
. Следовательно, все три окружности имеют только одну общую точку
I
.
Источник: Иберо-американская математическая олимпиада. — 1997, задача 2