17791. В трапеции ABCD
известно, что BC\perp AB
, BC\perp CD
и AC\perp BD
. Кроме того, AB=\sqrt{11}
и AD=\sqrt{1001}
. Найдите BC
.
Ответ. \sqrt{110}
.
Решение. Пусть OA=a
и OB=ar
. Тогда (см. задачу 2728)
OC=\frac{OB^{2}}{OA}=\frac{a^{2}r^{2}}{a}=ar^{2}.
Треугольники COD
и AOB
подобны с коэффициентом \frac{OC}{OA}=\frac{ar^{2}}{a}=r^{2}
, поэтому
OD=OB\cdot r^{2}=ar^{3}.
По теореме Пифагора
AB=\sqrt{OB^{2}+OA^{2}}=\sqrt{a^{2}r^{2}+a^{2}}=a\sqrt{r^{2}+1},
AD=\sqrt{OD^{2}+OA^{2}}=\sqrt{a^{2}r^{6}+a^{2}}=a\sqrt{r^{6}+1}.
Тогда
91=\frac{1001}{11}=\frac{AD^{2}}{AB^{2}}=\frac{r^{6}+1}{r^{2}+1}=\frac{(r^{2}+1)(r^{4}-r^{2}+1)}{r^{2}+1}=r^{4}-r^{2}+1,
откуда получаем уравнение относительно r
:
r^{4}-r^{2}-90=0,~\mbox{или}~(r^{2}-10)(r^{2}+9)=0.
Его единственный положительный корень r=\sqrt{10}
. Тогда
\sqrt{11}=AB=a\sqrt{r^{2}+1}=a\sqrt{11}~\Rightarrow~a=1.
Следовательно,
BC=\sqrt{OB^{2}+OC^{2}}=\sqrt{r^{2}+r^{4}}=\sqrt{10+100}=\sqrt{110}.
Источник: Математические олимпиады Гонконга. — 2002, задача 12