17794. Точки D
, E
и F
— середины сторон соответственно AB
, BC
и CA
треугольника ABC
. Известно, что AB=10
, CD=9
и CD\perp AE
. Найдите BF
.
Ответ. 3\sqrt{13}
.
Решение. Поскольку отрезки AE
, BF
и CD
— медианы треугольника ABC
, они пересекаются в одной точке, обозначим её G
, и делятся этой точкой в отношении 2:1
, считая от вершины треугольника. Значит,
DG=\frac{1}{3}CD=\frac{1}{3}\cdot9=3,~EG=\frac{1}{2}AG.
Из прямоугольных треугольников AGD
, CGE
и AGC
находим, что
AG=\sqrt{AD^{2}-DG^{2}}=\sqrt{25-9}=4~\Rightarrow~EG=\frac{1}{2}AG=2,
CE=\sqrt{CG^{2}+EG^{2}}=\sqrt{36+4}=2\sqrt{10}~\Rightarrow~BC=2CE=4\sqrt{10}.
AC=\sqrt{AG^{2}+CG^{2}}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}.
Тогда по формуле для квадрата медианы (см. задачу 4014)
BF^{2}=\frac{1}{4}(2AB^{2}+2BC^{2}-AC^{2})=\frac{1}{4}(2\cdot100+2\cdot160-52)=50+80-13=117.
Следовательно,
BF=\sqrt{117}=3\sqrt{13}.
Источник: Математические олимпиады Гонконга. — 2002, задача 15