17797. Точка F
лежит на отрезке EG
. Точка E
лежит на продолжении отрезка CD
, а прямые AD
и EG
пересекаются в точке F
. Известно, что \angle CAD=\angle EGD
, EF=FG
, AB:BC=1:2
и CD:DE=3:2
. Найдите отношение BD:DF
.
Ответ. \sqrt{3}:2
.
Решение. Пусть S_{\triangle DEF}=2
. Поскольку CD:DE=3:2
, то S_{\triangle FCD}=3
(см. задачу 3000).
Поскольку AB:BC=1:2
, то расстояние от точки B
до прямой в 3 раза меньше расстояния до этой прямой от точки C
, поэтому
S_{\triangle FBD}=\frac{1}{3}S_{\triangle FCD}=\frac{1}{3}\cdot3=1.
Поскольку EF=FG
, то
S_{\triangle GFD}=S_{\triangle DEF}=2~\Rightarrow~S_{\triangle GBF}=S_{\triangle GFD}-S_{\triangle FBD}=2-1=1=S_{\triangle FBD},
поэтому BG=BD
, т. е. B
— середина отрезка DG
. Значит, BF
— средняя линия треугольника DGE
, поэтому BF\parallel CE
. Следовательно, AF:FD=AB:BC=1:2
.
Пусть GB=BD=x
, AF=y
и FD=2y
. Четырёхугольник GAFB
вписанный, так как \angle CAD=\angle EGD
. Значит,
DB\cdot DG=DF\cdot DA,~\mbox{или}~x\cdot2x=2y\cdot3y,
откуда \frac{x}{y}=\sqrt{3}
. Следовательно,
BD:DF=x:2y=\sqrt{3}:2.
Источник: Математические олимпиады Гонконга. — 2004, задача 20