17804. Дан треугольник ABC
, в котором BC=4
, \angle BAC=60^{\circ}
, а I
— центр вписанной окружности. Окружность, проходящая через точки B
, I
и C
, пересекает серединный перпендикуляр к стороне BC
в точке X
, лежащей внутри треугольника ABC
. Найдите AX
.
Ответ. \frac{4\sqrt{3}}{3}
.
Решение. Докажем, что X
— центр описанной окружности треугольника ABC
. Тогда, если это так, то по теореме синусов
\frac{2}{\sin60^{\circ}}=2AX~\Rightarrow~AX=\frac{4\sqrt{3}}{3}.
Доказательство. Поскольку точка X
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC
, она равноудалена от его концов, т. е. XB=XC
. Значит, достаточно доказать, что
\angle BXC=2\angle BAC=120^{\circ}
(см. задачу 1900). В свою очередь, это равенство верно, так как (см. задачу 4770)
\angle BXC=\angle BIC=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle BAC=90^{\circ}+30^{\circ}=120^{\circ}.
Отсюда следует утверждение исходной задачи.
Источник: Математические олимпиады Гонконга. — 2006, задача 5