17809. Диагонали параллелограмма со сторонами 6 и 8 пересекаются под углом 60^{\circ}
. Найдите площадь параллелограмма.
Ответ. 14\sqrt{3}
.
Решение. Пусть диагонали параллелограмма равны 2x
и 2y
. Заметим, что из центра параллелограмма меньшая его сторона видна под меньшим углом (см. задачу 3606). Тогда по теореме косинусов
x^{2}+y^{2}-xy=36,~x^{2}+y^{2}+xy=64.
Вычитая первое равенство из второго, получим 2xy=28
. Следовательно, площадь параллелограмма равна
4\cdot\frac{1}{2}xy\cdot\sin60^{\circ}=2xy\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=14\sqrt{3}.
Источник: Математические олимпиады Гонконга. — 2008, задача 5