1781. В треугольнике ABC
известно, что AB\lt BC\lt AC
, а один из углов вдвое меньше другого и втрое меньше третьего. Найдите угол при вершине A
.
Ответ. 60^{\circ}
.
Указание. Против большей стороны треугольника лежит больший угол.
Решение. Поскольку в треугольнике против большей стороны лежит больший угол (см. задачу 3499), то наименьший угол треугольника ABC
лежит против стороны AB
, т. е. это угол ACB
. Обозначим \angle ACB=\alpha
. Тогда
\angle BAC=2\alpha,~\angle ABC=3\alpha.
По теореме о сумме углов треугольника
\alpha+2\alpha+3\alpha=180^{\circ},
откуда \alpha=30^{\circ}
. Следовательно,
\angle BAC=2\alpha=60^{\circ}.