17814. На стороне BC
равностороннего треугольника ABC
со стороной 4 отмечена точка D
, причём BD=1
. Найдите произведение радиусов вписанных окружностей треугольников ADB
и ADC
.
Ответ. 4-\sqrt{13}
.
Решение. Пусть радиусы вписанных окружностей треугольников ADB
и ADC
равны r
и s
соответственно.
По теореме косинусов из треугольника ADB
находим
AD=\sqrt{4^{2}+1^{2}-2\cdot4\cdot1\cos60^{\circ}}=\sqrt{13}.
а так как
S_{\triangle ADB}=\frac{1}{4}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{4}\cdot\frac{4^{2}\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3},S_{\triangle ADC}=3S_{\triangle ADC}=3\sqrt{3},
то (см. задачу 452)
r=\frac{2S_{\triangle ADB}}{4+1+\sqrt{13}}=\frac{2\sqrt{3}}{5+\sqrt{13}},~s=\frac{2S_{\triangle ADC}}{4+3+\sqrt{13}}=\frac{6\sqrt{3}}{7+\sqrt{13}}.
Следовательно,
rc=\frac{2\sqrt{3}}{5+\sqrt{13}}\cdot\frac{6\sqrt{3}}{7+\sqrt{13}}=\frac{36}{48+12\sqrt{13}}=\frac{3}{4+2\sqrt{13}}=4-\sqrt{13}.
Источник: Математические олимпиады Гонконга. — 2009, задача 7