17824. Точка D
лежит внутри треугольника ABC
, причём \angle BAD=\angle BCD
и \angle BDC=90^{\circ}
. Известно, что AB=5
, BC=6
, а M
— середина стороны AC
. Найдите DM
.
Ответ. \frac{\sqrt{11}}{2}
.
Решение. На продолжении отрезка CD
за точку D
отложим отрезок DE=DC
. Высота BD
треугольника BEC
является медианой, поэтому треугольник BEC
равнобедренный, BE=BC=6
и \angle BED=\angle BCD=\angle BAD
. Тогда точки A
, D
, B
и E
лежат на одной окружности (см. задачу 12). Значит,
\angle BAE=\angle BDE=90^{\circ}.
Из прямоугольного треугольника BAE
находим
AE=\sqrt{BE^{2}-AB^{2}}=\sqrt{6^{2}-5^{2}}=\sqrt{11}.
Отрезок DM
— средняя линия треугольника ACE
. Следовательно,
DM=\frac{1}{2}AE=\frac{\sqrt{11}}{2}.
Источник: Математические олимпиады Гонконга. — 2012, задача 16