17826. Найдите наименьшее значение величины \sqrt{x^{2}+4x+5}+\sqrt{x^{2}-8x+25}
.
Ответ. 2\sqrt{13}
.
Решение. Заметим, что
\sqrt{x^{2}+4x+5}+\sqrt{x^{2}-8x+25}=\sqrt{(x+2)^{2}+(0-1)^{2}}+\sqrt{(x-4)^{2}+(0+3)^{2}}.
Рассмотрим прямоугольную систему координат xOy
и точки A(-2;1)
, B(x;0)
и P(4;-3)
. Тогда первое слагаемое данной суммы корней есть расстояние между точками A
и P
(см. задачу 4201), а второе — расстояние между точками P
и B
. Наименьшее значение суммы достигается в случае, когда точки A
, P
и B
лежат на одной прямой. Это наименьшее значение равно расстоянию между фиксированными точками A
и B
, т. е.
AB=\sqrt{(-2-4)^{2}+(1-(-3))^{2}}=2\sqrt{13}.
Источник: Математические олимпиады Гонконга. — 2013, задача 8