17838. Дан треугольник ABC
, у которого AB\gt AC
, D
— основание биссектрисы угла A
, а площадь равна 1. Точка C'
симметрична точке C
относительно прямой AD
, а треугольник DBC'
подобен треугольнику ABC
. Найдите AB
, если периметр треугольника ABC
минимальный.
Ответ. 2.
Решение. Поскольку биссектриса угла — ось симметрии угла, AB\gt AC
, то точка C'
лежит на отрезке AB
, а так как треугольник DBC'
подобен треугольнику ABC
, то \angle BC'D=\angle ACB
. В то же время из симметрии \angle AC'D=\angle ACD
, поэтому \angle BC'D=\angle AC'D
, а так как равные смежные углы прямые, то \angle ACB=\angle AC'D=90^{\circ}
.
Обозначим BC=x
. Тогда
AC=\frac{2S_{\angle ABC}}{BC}=\frac{2}{x}~\Rightarrow~AB=\sqrt{x^{2}+\frac{4}{x^{2}}},
поэтому (см. задачу 3399) для периметра треугольника ABC
верно, что
x+\frac{2}{x}+\sqrt{x^{2}+\frac{4}{x^{2}}}\geqslant2\sqrt{x\cdot\frac{2}{x}}+2\sqrt{x^{2}\cdot\frac{4}{x^{2}}}=2\sqrt{2}+\sqrt{2\sqrt{4}}=2+2\sqrt{2},
причём равенство достигается тогда и только тогда, когда x=\frac{2}{x}
и x^{2}=\frac{4}{x^{2}}
, т. е. тогда и только тогда, когда x=\sqrt{2}
. Следовательно, при x=\sqrt{2}
периметр треугольника ABC
минимален. В этом случае
AB=\sqrt{(\sqrt{2})^{2}+\frac{4}{(\sqrt{2})^{2}}}=2.
Источник: Математические олимпиады Гонконга. — 2015, задача 5