17839. Дан треугольник ABC
, в котором \angle B=40^{\circ}
и AB+BC=2AC
. Точки K
и M
— середины сторон AB
и BC
соответственно. Точка L
лежит на стороне AC
, причём BL
— биссектриса угла ABC
. Найдите \angle KLM
.
Ответ. 70^{\circ}
.
Решение. По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509) \frac{AL}{LC}=\frac{AB}{BC}
. Поскольку AL+LC=AC
, а AB+BC=2AC
, то
AL=\frac{1}{2}AB=AK,~LC=\frac{1}{2}BC=CM.
Обозначим \angle BAC=\alpha
, \angle ABC=\beta
и \angle ACB=\gamma
. Треугольники AKL
и CLM
равнобедренные, поэтому
\angle ALK=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2},~\angle CLM=90^{\circ}-\frac{\gamma}{2}.
Следовательно,
\angle KLM=180^{\circ}-\angle ALK-\angle CLM=180^{\circ}-\left(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)-\left(90^{\circ}-\frac{\gamma}{2}\right)=
=\frac{\alpha}{2}+\frac{\gamma}{2}=90^{\circ}-\frac{\beta}{2}=90^{\circ}-20^{\circ}=70^{\circ}.
Источник: Математические олимпиады Гонконга. — 2016, задача 11