17840. Точка M
— середина стороны AB
треугольника ABC
, D
— основание перпендикуляра, опущенного из точки A
на BC
, P
— точка на прямой MD
. Найдите AC
, если известно, что AB=3
, BD=1
и BP=PC
.
Ответ. \frac{\sqrt{473}}{7}
.
Решение. Пусть E
— середина BC
. Медиана PE
равнобедренного треугольника BPC
является его высотой, поэтому PE\perp BC
. Поскольку DE
— медиана прямоугольного треугольника ADB
, проведённая из вершины прямого угла, то MB=MD
(см. задачу 1109). Тогда треугольник BMD
равнобедренный, поэтому
\angle MBD=\angle MDB=\angle PDE.
Значит, прямоугольные треугольники PED
и ADB
подобны. Кроме того, подобны прямоугольные треугольники PED
и CPD
. Обозначим DE=x
. Поскольку AB=3BD
, то DP=3DE=3x
и CD=3PD=9x
. Тогда
BE=CE=DC-DE=9x-x=8x,
1=BD=BE-DE=8x-x=7x~\Rightarrow~x=\frac{1}{7}~\Rightarrow~CD=9x=\frac{9}{7}.
По теореме Пифагора
AD^{2}=AB^{2}-BD^{2}=9-1=8.
Следовательно,
AC=\sqrt{AD^{2}+CD^{2}}=\sqrt{8+\frac{81}{49}}=\frac{\sqrt{473}}{7}.
Источник: Математические олимпиады Гонконга. — 2016, задача 7