17842. Точки P
и Q
лежат на сторонах соответственно AB
и BC
треугольника ABC
, причём AP:PB=8:1
и AQ:QC=15:1
. Точки X
и Y
лежат на стороне BC
, причём описанная окружность треугольника APX
касается прямых BC
и CA
, а описанная окружность треугольника AQY
касается прямых AB
и BC
. Найдите \cos\angle BAC
.
Ответ. \frac{1}{6}
.
Решение. Обозначим BP=x
и CQ=y
. Тогда
AP=8x,~AQ=16y,~AB=9x,~AC=16y.
По теореме о касательной и секущей (см. задачу 93)
BX=\sqrt{BP\cdot BA}=\sqrt{x\cdot9x}=3x,~CY=\sqrt{CQ\cdot CA}=\sqrt{y\cdot16y}=4y.
Поскольку BA=BY
и CA=CX
, получаем
XY=BY-BX=BA-BX=9x-3x=6x,
XY=CX-CY=CA-CY=16y-4y=12y.
Значит, 6x=12y
, откуда x=2y
. Тогда
AB=9x=18y,~BC=BX+XC=3x+16y=22y,
а так как AC=16y
, то по теореме косинусов из треугольника ABC
находим, что
\cos\angle BAC=\frac{AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}}{2AB\cdot AC}=\frac{18^{2}y^{2}+16^{2}y^{2}-22^{2}y^{2}}{2\cdot18y\cdot16y}=
=\frac{9^{2}+8^{2}-11^{2}}{2\cdot9\cdot8}=\frac{81+64-121}{144}=\frac{24}{144}=\frac{1}{6}.
Источник: Математические олимпиады Гонконга. — 2016, задача 20