17847. Дан треугольник ABC
с углами \angle BCA=24^{\circ}
и \angle BAC=18^{\circ}
. Точка D
лежит на стороне AC
, причём \angle BDC=60^{\circ}
. Биссектриса угла ADB
пересекает сторону AB
а точке E
. Найдите \angle BEC
.
Ответ. 30^{\circ}
.
Решение. По теореме о внешнем угле треугольника
\angle DBA=\angle BDC-\angle BCA=60^{\circ}-18^{\circ}=42^{\circ}.
Пусть F
— точка на продолжении стороны BC
за точку B
. В то же время, по той же теореме
\angle ABF=\angle BAC+\angle ACB=18^{\circ}+24^{\circ}=42^{\circ}=\angle DBA.
Значит, BE
— биссектриса угла DBF
, а так как DE
— биссектриса угла ADB
, то E
— центр вневписанной окружности треугольника CBD
(см. задачу 1192). Тогда
\angle ACE=\frac{1}{2}\angle ACB=12^{\circ}.
Следовательно,
\angle BEC=\angle EAC+\angle ACE=18^{\circ}+12^{\circ}=30^{\circ}.
Источник: Математические олимпиады Гонконга. — 2018, задача 3