17848. Около треугольника ABC
описана окружность с центром O
. Известно, что AB=1
и AO=AC=2
. Точки D
и E
лежат на продолжениях AB
и AC
за точки B
и C
соответственно, причём OD=OE
и BD=\sqrt{2}EC
. Найдите OD^{2}
.
Ответ. 14-6\sqrt{2}
.
Решение. Пусть BD=x
и EC=\frac{x}{\sqrt{2}}
. Поскольку точки D
и E
равноудалены от центра окружности, их степени относительно окружности равны, т. е.
DB\cdot DA=EC\cdot EA,~\mbox{или}~x(x+1)=\frac{1}{\sqrt{2}}x\left(\frac{1}{\sqrt{2}}x+2\right),
откуда находим, что x=2\sqrt{2}-2
(так как x\ne0
). Значит,
DB\cdot DA=x(x+1)=10-6\sqrt{2}.
В то же время, эта степень также равна OD^{2}-OA^{2}
(см. задачу 2636). Следовательно,
OD^{2}=BD\cdot DA+OA^{2}=10-6\sqrt{2}+2^{2}=14-6\sqrt{2}.
Источник: Математические олимпиады Гонконга. — 2018, задача 13