17849. Точка D
лежит на основании BC
равнобедренного треугольника ABC
, BD\lt DC
. Точка E
симметрична точке C
относительно прямой AD
. Прямые AD
и BE
пересекаются в точке F
. Найдите произведение AD\cdot AF
, если AB=AC=20
.
Ответ. 400.
Решение. Из симметрии
\angle AED=\angle ACD=\angle ABD,
поэтому точки A
, E
, B
и D
лежат на одной окружности (см. задачу 12). Тогда
\angle FBC=\angle FBD=180^{\circ}-\angle DBE=\angle AED=\angle CAD=\angle CAF,
поэтому точки A
, B
, F
и C
лежат на одной окружности. Тогда
\angle ABD=\angle ABC=\angle ACB=\angle AFB.
Значит, треугольники ABD
и AFB
с общим углом при вершине A
подобны по двум углам. Следовательно,
\frac{AD}{AB}=\angle{AB}{AF}~\Rightarrow~AD\cdot AF=AB^{2}=20^{2}=400.
Источник: Математические олимпиады Гонконга. — 2018, задача 15