17855. Дан непрямоугольный треугольник ABC
. Для каждой точки P
, лежащей внутри треугольника, A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
— точки, симметричные точке P
относительно прямых BC
, CA
и AB
соответственно. Докажите следующие утверждения.
а) Если P
— центр вписанной окружности треугольника ABC
, то P
— центр описанной окружности треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
.
б) Если P
— центр описанной окружности треугольника ABC
, то P
— ортоцентр A_{1}B_{1}C_{1}
в) Если P
— ортоцентр треугольника ABC
, то P
— центр вписанной или вневписанной окружности треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
.
Решение. а) Пусть точка P
совпадает с центром I
вписанной окружности треугольника ABC
, а r
— радиус этой окружности. Тогда A_{1}I=B_{1}I=C_{1}I=2r
. Следовательно, P
— центр описанной окружности треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
.
С другой стороны, если точка P
, равноудалённая от прямых BC
, CA
и AB
, отлична от центра вписанной окружности треугольника, то эта точка — центр вневписанной окружности треугольника ABC
, а если r_{1}
радиус этой окружности, то как и в предыдущем случае A_{1}I_{1}=B_{1}I_{1}=C_{1}I_{1}=2r_{1}
, поэтому снова I_{1}
— центр описанной окружности треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
.
б) Пусть точка P
совпадает с центром O
описанной окружности треугольника ABC
. Тогда отрезок AC
делится пополам отрезком OA_{1}
и по условию делит отрезок OA_{1}
пополам. Пусть D
, E
и F
— середины сторон BC
, CA
и AB
соответственно. Тогда FE\parallel BC
, так как E
и F
— также середины отрезков OB_{1}
и OC_{1}
, то EF\parallel B_{1}C_{1}
. Поскольку OA_{1}\perp BC
, то OA_{1}\perp B_{1}C_{1}
. Аналогично, OB_{1}\perp C_{1}A_{1}
и OC_{1}\perp A_{1}B_{1}
. Следовательно, O
— ортоцентр треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
.
в) Пусть точка P
совпадает с ортоцентром H
остроугольного треугольника ABC
. Тогда основания K
, L
и M
высот треугольника, проведённых из вершин A
, B
и C
соответственно, лежат на отрезках BC
, CA
и AB
соответственно. Тогда KLM
— ортотреугольник остроугольного треугольника ABC
, поэтому P
— точка пересечения биссектрис треугольника KLM
(см. задачу 533). В то же время, по теореме о средней линии треугольника стороны B_{1}C_{1}
, C_{1}A_{1}
и A_{1}B_{1}
соответственно параллельны сторонам соответственно LM
, MK
и KL
треугольника KLM
. Значит, P
— точка пересечения биссектрис и треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
, т. е. центр его вписанной окружности
Если треугольник ABC
тупоугольный, то аналогично, применив примечание 2 к задаче 533, докажем, что P
— точка пересечения биссектрис двух внутренних и третьего внешнего угла треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
, т. е. центр одной из его вневписанной окружности.
Источник: Индийские математические олимпиады. — 2001, задача 1