17858. Точка I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
; точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
симметричны точке I
относительно прямых BC
, CA
и AB
соответственно. Известно, что описанная окружность треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
проходит через точку A
, а I_{1}
— центр вписанной окружности треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
. Докажите, что точки B_{1}
, C_{1}
, I
и I_{1}
лежат на одной окружности.
Решение. Пусть радиус вписанной окружности треугольника ABC
равен r
. Заметим, что IA_{1}=IB_{1}=IC_{1}=2r
, поэтому I
— центр описанной окружности треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
.
Пусть вписанная окружность треугольника ABC
касается стороны AC
в точке K
. Тогда
IK=r,~IA=2r~\mbox{и}~\angle IKA=90^{\circ},
поэтому \angle IAK=30^{\circ}
, а тогда \angle IAB_{1}=90^{\circ}
. Значит, равнобедренный треугольник AIB_{1}
— равносторонний. Аналогично, равнобедренный треугольник AIC_{1}
— тоже равносторонний. Таким образом,
AB_{1}=AC_{1}=AI=IB_{1}=IC_{1}=2r,~\angle B_{1}IC_{1}=120^{\circ},
а IB_{1}AC_{1}
— ромб.
Поскольку \angle B_{1}AC_{1}=120^{\circ}
, по свойству вписанного четырёхугольника \angle B_{1}A_{1}C_{1}=60^{\circ}
. Поскольку AB_{1}=AC_{1}
, точка A
— середина дуги BA_{1}C_{1}
, поэтому A_{1}A
— биссектриса вписанного угла B_{1}AC_{1}
. Значит, точки I_{1}
лежит на луче AA_{1}
. Тогда (см. задачу 4770)
\angle B_{1}I_{1}C_{1}=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle B_{1}A_{1}C_{1}=90^{\circ}+30^{\circ}=120^{\circ}=\angle B_{1}IC_{1}.
Следовательно, точки B_{1}
, C_{1}
, I
и I_{1}
лежат на одной окружности (см. задачу 12).
Источник: Индийские математические олимпиады. — 2008, задача 1