17860. Внутри треугольника ABC
отмечена точка P
, для которой \angle BPC=90^{\circ}
и \angle BAP=\angle BCP
. Точки M
и N
— середины AC
и BC
соответственно. Известно, что BP=2PM
. Докажите, что точки A
, P
и N
лежат на одной прямой.
Решение. На продолжении отрезка CP
за точку P
отложим отрезок PD=CP
. Пусть \angle BCP=\alpha=\angle BAP
. Тогда прямая BP
— серединный перпендикуляр к отрезку CD
, поэтому BC=BD
и треугольник BCD
равнобедренный. Тогда
\angle BDP=\angle BCP=\alpha=\angle BAP.
Значит, точки A
, D
, B
и P
лежат на одной окружности (см. задачу 12), и поэтому
\angle DAB=\angle DPB=90^{\circ}.
Поскольку P
— середина CD
, а M
— середина CA
, то PM
— средняя линия треугольника ACD
, поэтому
DA=2PM=BP.
Значит, ADBP
— равнобедренная трапеция и AP\parallel BD
. Таким образом,
\angle DPA=\angle BDP=\angle NPC.
Следовательно, точки A
, P
и N
лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.
Источник: Индийские математические олимпиады. — 2009, задача 1