17861. Точка H
— ортоцентр остроугольного треугольника ABC
. Наибольшая высота треугольника равна h_{\max}
. Докажите, что AH+BH+CH\leqslant2h_{\max}
.
Решение. Пусть \angle C
— наименьший угол треугольника ABC
. Тогда AB
— наименьшая сторона, а CD
— наибольшая высота. Продолжим эту высоту до пересечения с описанной окружностью треугольника ABC
в точке K
. Требуется доказать неравенство
AH+BH+CH\leqslant2CD.
Поскольку CD=CH+HD
то
AH+BH+CH\leqslant2CD~\Leftrightarrow~AH+BH+CH\leqslant2CH+2HD~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~AH+BH\leqslant CH+HD+HD~\Leftrightarrow~AH+BH\leqslant CD+HD,
а так как AH=AK
, BH=BK
и HD=DK
(см. задачу 4785), то задача сводится к доказательству неравенства
AK+BK\leqslant CK.
Применив теорему Птолемея к вписанному четырёхугольнику BCAK
и учитывая, что AB
— наименьшая сторона треугольника, получаем
AB\cdot CK=AC\cdot BK+BC\cdot AK\geqslant AB\cdot BK+AB\cdot AK.
Значит, CK\geqslant AK+BK
. Отсюда следует требуемое неравенство.
Источник: Индийские математические олимпиады. — 2008, задача 5