17869. Точки D
, E
и F
лежат на сторонах соответственно BC
, CA
и AB
остроугольного треугольника ABC
, причём \frac{CD}{CE}=\frac{CA}{CB}
, \frac{AE}{AF}=\frac{AB}{AC}
и \frac{BF}{BD}=\frac{BC}{BA}
. Докажите, что AD
, BE
и CF
— высоты треугольника ABC
.
Решение. Заметим, что
\frac{CD}{CE}=\frac{CA}{CB}~\Rightarrow~CD\cdot CB=CE\cdot CA,
поэтому ABDE
— вписанный четырёхугольник (см. задачу 114). Аналогично, BCEF
и CAFD
— вписанные четырёхугольники. Тогда
\angle AEF=\angle ABC=\angle CED.
Аналогично
\angle BDF=\angle CDE~\mbox{и}~\angle AFE=\angle CDE.
Следовательно (см. задачу 1638), AD
, BE
и CF
— высоты треугольника ABC
.
Источник: Индийские математические олимпиады. — 2002, задача 1